Como calcular a soma dos n termos de uma progressão aritmética

✅ Para calcular a soma dos n termos de uma PA, use a fórmula: Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ), onde a₁ é o primeiro termo e aₙ o último termo.

Calcular a soma dos n termos de uma progressão aritmética (PA) é um processo simples e direto. A fórmula utilizada para esse cálculo é S_n = (n/2) × (a₁ + a_n), onde S_n representa a soma dos n termos, a₁ é o primeiro termo da PA, a_n é o enésimo termo e n é o número total de termos. Alternativamente, se você conhece o primeiro termo (a₁) e a razão (r) da PA, a fórmula pode ser expressa como S_n = (n/2) × (2a₁ + (n-1)r).

Entendendo a Progressão Aritmética

A progressão aritmética é uma sequência numérica onde a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão (r) e pode ser positiva, negativa ou zero. Por exemplo, na PA 2, 4, 6, 8, 10, a razão é 2.

Fórmulas Importantes

• S_n = (n/2) × (a₁ + a_n)
• S_n = (n/2) × (2a₁ + (n-1)r)

Exemplo Prático

Suponha que você deseja calcular a soma dos 5 primeiros termos da PA que começa em 3 e tem uma razão de 2. Primeiro, identificamos os termos: 3, 5, 7, 9, 11. Assim, a soma é:

S5 = (5/2) × (3 + 11) 
            = (5/2) × 14 
            = 5 × 7 
            = 35

Portanto, a soma dos 5 primeiros termos é 35. Ao entender essas fórmulas e como aplicá-las, você será capaz de calcular rapidamente a soma dos termos de qualquer progressão aritmética.

Dicas para Facilitar os Cálculos

• Identifique sempre o primeiro termo e a razão da PA.
• Use a fórmula mais adequada de acordo com as informações disponíveis.
• Verifique se a PA está correta antes de aplicar a fórmula.

Este artigo abordará em mais detalhes cada um desses aspectos, proporcionando exemplos adicionais e dicas que facilitarão ainda mais a compreensão e a aplicação prática do cálculo da soma de termos em progressões aritméticas.

Fórmula para encontrar a soma dos n primeiros termos

Para calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA), utilizamos uma fórmula bastante prática e eficiente. A soma, denotada como S_n, pode ser calculada da seguinte maneira:

Fórmula da soma dos n termos

A fórmula é a seguinte:

S_n = (n/2) * (2a + (n – 1)d)

Onde:

• S_n = soma dos n primeiros termos
• n = número de termos
• a = primeiro termo da PA
• d = razão da PA

Exemplo prático

Suponha que temos uma PA onde a = 3 (primeiro termo) e d = 2 (razão). Queremos encontrar a soma dos 5 primeiros termos:

1. a: 3
2. d: 2
3. n: 5

Substituindo os valores na fórmula:

S₅ = (5/2) * (2 * 3 + (5 – 1) * 2)

S₅ = (5/2) * (6 + 8) = (5/2) * 14 = 5 * 7 = 35

Portanto, a soma dos 5 primeiros termos da PA é 35.

Observações Importantes

É importante notar que a fórmula acima é derivada do fato de que a soma de uma PA pode ser visualizada como a média dos termos multiplicada pelo número de termos. Vamos quebrar isso em partes:

• A média dos dois extremos da PA (primeiro e último termo) é dada por: (a + l) / 2, onde l é o último termo, que pode ser encontrado como l = a + (n – 1)d.
• Assim, a fórmula pode ser reescrita como: S_n = n * (média dos termos).

Tabela comparativa de soma de termos em PA

Utilizando a fórmula de forma adequada, você pode facilmente calcular a soma de qualquer número de termos em uma progressão aritmética. Portanto, se você tem uma sequência e deseja descobrir a soma dos termos, basta aplicar a fórmula e obter o resultado desejado!

Perguntas Frequentes

O que é uma progressão aritmética?

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica onde a diferença entre dois termos consecutivos é constante.

Qual é a fórmula para calcular a soma dos n termos?

A soma dos n termos de uma PA é dada pela fórmula: S_n = n/2 * (a_1 + a_n), onde a_1 é o primeiro termo e a_n é o último termo.

Como encontrar o último termo da PA?

O último termo da PA pode ser encontrado usando a fórmula: a_n = a_1 + (n – 1) * r, onde r é a razão da PA.

O que é a razão em uma PA?

A razão é a diferença constante entre dois termos consecutivos da progressão aritmética.

Qual é a soma dos primeiros 10 termos de uma PA com a_1 = 2 e r = 3?

Utilizando a fórmula, S_10 = 10/2 * (2 + 29) = 5 * 31 = 155.

Pontos-chave sobre a soma dos n termos de uma PA

• Definição: PA é uma sequência com diferença constante.
• Soma: S_n = n/2 * (a_1 + a_n).
• Primeiro termo: a_1 é o primeiro valor da sequência.
• Último termo: a_n é calculado por a_n = a_1 + (n – 1) * r.
• Razão: r = a_n – a_1, constante entre os termos.
• Aplicações: Finanças, engenharia, pesquisa de mercado, etc.
• Exemplo: PA: 2, 5, 8, … (a_1 = 2, r = 3).
• Cálculo da soma: Utilize a fórmula para diferentes valores de n.

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